Олексій Молчанов здобув музичну освіту у Києві, де його викладачами були Лідія Шур, Олександр Снегірьов та Володимир Винницькій. Під час навчання він здобував нагороди як піаніст, з яких важливо відзначити перемогу в конкурсі ім. Лисенка у Львові у 1984 році. Вже як студент розпочав активну концертну діяльність. Виступав як соліст та в численних камерних ансамблях в Україні та за кордоном.
Молчанов працював зі Спілкою композиторів України за проектами сучасної музики.
З 1995 року живе в Сербії, де продовжує свою художньо-педагогічну діяльність. У Чорногорію переїхав в 1999 році, а з травня 2000 року працює в музичній академії Цетинє. Його професійне та творче життя є успішним і плідним.